عرض مصدر جبر/جبر خطي/المصفوفات

< [[جبر|الجبر]]

بشكل عام المصفوفة عبارة عن مجموعة مرتبة من الأعداد الحقيقية أو المركبة (العقدية) يمكن أن تكون ذات بعد واحد أو بعدين و أحيانا أكثر من ذلك :

:<math>A=\left(\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{matrix}\right)</math>

هي''m''&في;''n'' مصفوفة (''m''-في-''n'' مصفوفة), أي : ''m'' سطر و ''n'' عمود. ندعو ''m'' و ''n'' بأبعاد المصفوفة. و نعتبر (''i'',''j'')-العنصر من المصفوفة ذو الترتيب ''i''-th السطر (من الأعلى) و ''j''-th العمود (من اليسار).

على سبيل المثال,

: <math>\begin{pmatrix} 3 & 4 & 8 \\
                        2 & 7 & 11 \\
                        1 & 1 & 1  \end{pmatrix}</math>

هي 3×3 مصفوفة ( "3 في 3"). المدخل-(2,3) هو 11.

لاحظ أن مداخل المصفوفة يمكن أخذها من [[جبر تجريدي:الحلقات|الحلقات]] العامة.

=== جمل المعادلات الخطية ===

لحل جملة من المعادلات الخطية كما في الجملة التالية :

: <math>3x+4y+8z=6</math>
: <math>2x+7y+11z=4</math>
: <math>x+y+z=1</math>

العمليات التقليدية لحل مثل هذه الجمل من المعادلات الخطية معقدة و غير منتظمة (فكل نمط من جمل المعادلات الخطية له طريقة حل مختلفة) .

إذا كان لدينا جملة المعادلات الخطية المذكورة أعلاه :

: <math>3x+4y+8z=6</math>
: <math>2x+7y+11z=4</math>
: <math>x+y+z=1</math>

بإمكاننا استبدال ''x'', ''y'', ''z'' ب ''p'', ''q'', ''r'' و مع بقاء الحلول واحدة لا تتغير. بهذا يمكننا كتابة جملة المعادلات كما يلي :

: <math>3p+4q+8r=6</math>
: <math>2p+7q+11r=4</math>
: <math>p+q+r=1</math>
و سيبقى حلول أو جذور جملة المعادلات ثابتة .

في الواقع ، لسنا بحاجة لكتابة ''x'', ''y'' ''z'' لوصف جملة المعادلات: فما هو أكثر أهمية هو معاملات ''x'', ''y'', ''z''. لذا يمكننا كتابة جملة المعادلات كما يلي :

<math>\begin{pmatrix} 3 & 4 & 8 \\
                        2 & 7 & 11 \\
                        1 & 1 & 1  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} =
         \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}</math>

لتفاصيل أكثر, انظر إلى [[جبر:جملة المعادلات الخطية|جملة المعادلات الخطية]].

لقد بدأ مفهوم المصفوفة و استخدم بداية لتقديم طريقة حل نظامية لكافة جمل المعادلات الخطية ، لكنها بعد ذلك اكتسبت تطبيقات واسعة جدا في كافة المجالات .

[[تصنيف:جبر خطي]]