تحليل رياضي/الدوال الأسية

الدالة الأسية النيبيرية

دالة اللوغاريتم النيبيري $\ln$ تقابل من ${ℝ}^{+*}$ نحو $ℝ$ قالب:تعريف ليكن $r$ عددا جذريا، لدينا : $\ln (\exp (r))=r$ ونعلم أن : $\ln (e^r)=r\ln e=r$ إذن : $\ln (\exp (r))=\ln (e^r)$

وبالتالي : $\exp (r)=e^r$ لكل $r$ من $\mathbb{Q}$

نمدد هذه الكتابة إلى المجموعة $ℝ$ فنكتب : $\exp (x)=e^x$ لكل $x$ من $ℝ$ . قالب:لازمة

التمثيل المبياني للدالة $\exp$

• بما أن الدالة $\exp$ هي الدالة العكسية للدالة $\ln$ فإن منحنى الدالة $\exp$ في معلم متعامد ممنظم، هو مماثل منحنى الدالة $\ln$ بالنسبة للمستقيم الذي معادلته $y=x$ (المنصف الأول للمعلم).
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأفاصيل كمقارب أفقي بجوار $-\mathrm{\infty }$ (لأن $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0$ )
• منحنى الدالة $\exp$ يقبل محور الأراتيب كاتجاه مقارب بجوار $+\mathrm{\infty }$ (لأن $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=+\mathrm{\infty }$ و $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x}=+\mathrm{\infty }$ )
• المستقيم ذو المعادلة $y=x+1$ هو المماس لمنحنى الدالة $\exp$ في النقطة $J(0,1)$

مشتقة الدالة الأسية النيبيرية

قالب:خاصية ${\exp }^{\prime }=\exp$

ملاحظة : الدالة التآلفية $x\mapsto x+1$ هي تقريب للدالة $\exp$ بجوار $0$ أي : $e^x\simeq x+1$ بجوار $0$

الدالة الأسية للأساس $a$

ليكن $a$ عنصرا من ${ℝ}^{+*}\setminus \{1\}$ ، الدالة ${\log }_a$ تقابل من ${ℝ}^{+*}$ نحو $ℝ$ قالب:تعريف

كتابة أخرى للعدد ${\exp }_a(x)$

• لكل $x$ من $ℝ$ ولكل $y$ من ${ℝ}^{+*}$ ، لدينا :

$\begin{array}{cc}x={\log }_a(y)& ⟺{\exp }_a(x)=y\\ x=\frac{\ln y}{\ln a}& ⟺{\exp }_a(x)=y\\ \ln y=x\ln a& ⟺{\exp }_a(x)=y\\ y=e^{x\ln a}& ⟺{\exp }_a(x)=y\end{array}$ إذن ${\exp }_a=e^{x\ln a}$ لكل $x$ من $ℝ$

• ليكن $a$ عددا حقيقيا موجبا قطعا ويخالف $1$. لكل $r$ من $\mathbb{Q}$ لدينا ${\exp }_a(r)=e^{r\ln a}={\left(e^{\ln a}\right)}^r$ أي : ${\exp }_a(r)=a^r$ نمدد هذه الكتابة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية فنكتب لكل $x$ من $ℝ$ : ${\exp }_a(x)=a^x$

ملاحظة : يمكن في الكتابة $a^x$ اعتبار الحالة $a=1$ فيكون لدينا : $1^x=1$ لكل $x$ من $ℝ$

مشتقة الدالة ${\exp }_a$

ملاحظة : إذا كان $a>1$ فإن الدالة ${\exp }_a$ تزايدية قطعا على $ℝ$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة ${\exp }_a$ تناقصية قطعا على $ℝ$

انظر أيضا

• الدوال اللوغاريتمية
• الاتصال
• الاشتقاق