جبر/جبر خطي/جملة المعادلات الخطية

المعادلات الخطية

المعادلة الخطية عبارة عن معادلة تأخذ الشكل التالي : $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=b$

a₁,a₂, etc. تسمى معاملات المعادلة و b يدعى الحد الثابت. المتغيرات في الجبر الخطي يرمز لها ب x_n بدلا من x, y, z,.... الخ.

بسبب كثرة المتغيرات المستخدمة في الجبر الخطي.

الحدود التي تظهر على الجانب الأيسر من المعادلة الخطية يجب أن تكون ذات أس يساوي تماما = 1. في حين تكون الحدود على الجانب الأيمن ذات أ

جمل المعادلات الخطية

أي جملة مؤلفة من m معادلة ذات n متغير تأخذ الشكل $\begin{array}{cccccc}{a}_{11}{x}_1& +a_{12}{x}_2& \cdots & +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1& +a_{22}{x}_2& \cdots & +a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ a_{m1}{x}_1& +a_{m2}{x}_2& \cdots & +a_{mn}{x}_n& =& b_m\end{array}$

إذا كان معامل أحد المتغيرات في المعادلة الخطية صفرا عندئذ يمكن اهماله . بالتالي من غير الضروري أن نجد جميع المتغيرات في معادلة واحدة.

لنأخذ من المعادلات الخطية :

1. $\begin{array}{ccccc}2x_1& -2x_2& +x_3& =& 1\\ -3x_1& +2x_2& & =& 3\\ 3x_1& +2x_2& +x_3& =& 7\end{array}$

2. $\begin{array}{cccccc}2x_1& -2x_2& -x_3& +2x_4& =& 0\\ -3x_1& & +2x_3& & =& 0\\ 3x_1& +2x_2& +x_3& -x_4& =& 0\end{array}$

الجملة الثانية نسميها : جملة متجانسة لأن جميع الحدود الثابتة في جميع المعادلات معدومة (صفر) .

عادة تتألف جملة المعادلات الخطية من اثنتين أو أكثر من المعادلات الخطية التي تملك نفس المتغيرات .

نظريا أيضا ، يمكن لنا معاملة جملة خطية وحيدة على أنها جملة مؤلفة من معادلة واحدة .

تشكيل المصفوفة

نرتب معاملات الجمل الخطية بشكل مصفوفة m-في-n (أي مصفوفة مربعة ذات m سطر و n عمود), لنحصل على :

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

لنجعل :

$b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

و

$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$.

يمكن أن تكتب جملة المعادلات الخطية كما يلي :

$Ax=b$

كان هذا أحد أهم الدوافع لدراسة نظرية المصفوفات.

لمعلومات أكثر اقرأ : جبر:المصفوفات.

حل جمل المعادلات الخطية

حل جملة المعادلات الخطية هي مجموعة القيم التي تعطى لكل متغير لكي تصبح مجموعة المعادلات جميعها صحيحة.

مثلا : حل جملة المعادلات المعطاة سلفا هو : (0,1.5,4) لأن :

2(0)-1.5(2)+1(4)=1, -3(0)+2(1.5)=3, و 3(0)+2(1.5)+4=7.