عرض مصدر تحليل رياضي/الاشتقاق

== القابلية للاشتقاق ==

=== قابلية اشتقاق دالة في عدد ===
{{تعريف|محتوى=لتكن <math>f</math> دالة معرفة على مجال مفتوح <math>I</math> وليكن <math>a</math> عنصرا من <math>I</math>

نقول إن <math>f</math> '''قابلة للاشتقاق''' في العدد <math>a</math> إذا وُجِدَ عدد حقيقي <math>\ell</math> بحيث : <math>\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell</math>

العدد <math>\ell</math> يسمى '''العدد المشتق''' للدالة <math>f</math> في <math>a</math> ، ويُرمَز له بالرمز <math>f'(a)</math>}}
{{تعريف|محتوى=لتكن <math>f</math> دالة قابلة للاشتقاق في عدد حقيقي <math>a</math>

* المستقيم الذي معادلته : <math>y = f'(a).(x-a)+f(a)</math> يسمى '''مماس''' منحنى الدالة <math>f</math> في النقطة التي أُفصولها <math>a</math> 
* الدالة <math>x\mapsto f'(a).(x-a)+f(a)</math> تسمى '''التقريب التآلفي''' للدالة <math>f</math> بجوار العدد <math>a</math>

ونكتب : <math>f(x)\simeq f'(a).(x-a)+f(a)</math> بجوار <math>a</math> ، أو <math>f(a+h) \simeq h.f'(a)+f(a)</math> بجوار <math>0</math>}}

=== قابلية الاشتقاق على اليمين - قابلية الاشتقاق على اليسار ===
{{تعريف|محتوى=لتكن <math>f</math> دالة معرفة على مجال <math>[a,a+r[</math> حيث <math>r</math> عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن <math>f</math> قابلة للاشتقاق على اليمين في <math>a</math> إذا وُجِد عدد حقيقي <math>\ell _1</math> بحيث : <math>\lim_{x\to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell_1</math>

العدد <math>\ell _1</math> يسمى العدد المشتق للدالة <math>f</math> على اليمين في <math>a</math> ، ويُرمَز له بالرمز <math>f_d'(a)</math> ونكتب <math>f_d'(a)=l_1</math>|عنوان=تعريف : قابلية الاشتقاق على اليمين}}
{{تعريف|محتوى=لتكن <math>f</math> دالة معرفة على مجال <math>]a-r,a]</math> حيث <math>r</math> عدد حقيقي موجب قطعا.

نقول إن <math>f</math> قابلة للاشتقاق على اليسار في <math>a</math> إذا وُجِد عدد حقيقي <math>\ell _2</math> بحيث : <math>\lim_{x\to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \ell_2</math>

العدد <math>\ell _2</math> يسمى العدد المشتق للدالة <math>f</math> على اليسار في <math>a</math> ، ويُرمَز له بالرمز <math>f_g'(a)</math> ونكتب <math>f_g'(a)=l_2</math>|عنوان=تعريف : قابلية الاشتقاق على اليسار}}
{{خاصية|محتوى=لتكن <math>f</math> دالة معرفة على مجال مفتوح <math>I</math> وليكن <math>a</math> عنصرا من <math>I</math>

تكون <math>f</math> قابلة للاشتقاق في العدد <math>a</math> إذا وفقط إذا كانت <math>f</math> قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في <math>a</math> و <math>f_d'(a)=f_g'(a)</math>}}

=== قابلية اشتقاق دالة على مجال ===
{{تعريف|محتوى=
لتكن <math>f</math> دالة معرفة على مجال <math>[a,b]</math> (<math>a<b</math>)

* نقول إن <math>f</math> '''قابلة للاشتقاق على المجال''' المفتوح <math>]a,b[</math> إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل عدد من <math>]a,b[</math>
* الدالة التي تربط كل عدد <math>x</math> من <math>]a,b[</math> بالعدد المشتق <math>f'(x)</math> تسمى '''الدالة المشتقة''' للدالة <math>f</math> على المجال <math>]a,b[</math> ، ويُرمَزُ لها بالرمز <math>f'</math>
* نقول إن <math>f</math> '''قابلة للاشتقاق على القطعة''' <math>[a,b]</math> إذا كانت قابلة للاشتقاق على المجال المفتوح <math>]a,b[</math> ، وقابلة للاشتقاق على اليمين في <math>a</math> وعلى اليسار في <math>b</math>
}}

=== مشتقات بعض الدوال الاعتيادية ===
{| class="wikitable"
|+مشتقات بعض الدوال الاعتيادية
!الدالة <math>f</math>
!قابلة للاشتقاق على
!الدالة المشتقة <math>f'</math>
|-
|<math>x \mapsto k , (k\in \mathbb{R})</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>x \mapsto 0</math>
|-
|<math>x \mapsto ax , (a\in \mathbb{R}^*)</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>x \mapsto a</math>
|-
|<math>x \mapsto x^n , (n\in \mathbb{N}^*)</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>x \mapsto nx^{n-1}</math>
|-
|<math>x \mapsto \frac{1}{x}</math>
|<math>\mathbb{R}^{-*}</math> أو <math>\mathbb{R}^{+*}</math>
|<math>x \mapsto \frac{-1}{x^2}</math>
|-
|<math>x \mapsto \sqrt{x}</math>
|<math>\mathbb{R}^{+*}</math>
|<math>x \mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
|-
|<math>x \mapsto \cos(x)</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>x \mapsto -\sin(x)</math>
|-
|<math>x \mapsto \sin(x)</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>x \mapsto \cos(x)</math>
|-
|<math>x \mapsto \tan(x)</math>
|<math>\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi \right[ , k \in \mathbb{Z}</math>
|<math>x \mapsto 1+\tan^2{x} = \frac{1}{\cos^2{x}}</math>
|-
|<math>x \mapsto \cos(ax+b) , (a\in \mathbb{R}^*)</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>x \mapsto -a\sin(ax+b)</math>
|-
|<math>x \mapsto \sin(ax+b) , (a\in \mathbb{R}^*)</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>x \mapsto a\cos(ax+b)</math>
|}

=== الكتابة التفاضلية ===
إذا كانت <math>f</math> قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا <math>y=f(x)</math> ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: <math>f'(x)=\frac{dy}{dx}</math> أو <math>dy = f'(x)dx</math>

في مادة الفيزياء، إذا كانت <math>x</math> دالة للمتغير <math>t</math> بحيث <math>x=\frac{1}{2}t^2+3t+1</math> فإننا نكتب : <math>\frac{dx}{dt}=t+3</math>

=== العمليات على الدوال القابلة للاشتقاق ===
{{خاصية|محتوى=
لتكن <math>u</math> و <math>v</math> دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال <math>I</math> و <math>\alpha</math> عددا حقيقيا. لدينا :

* <math>(u+v)'=u'+v'</math> و <math>(\alpha .u)'= \alpha . u'</math> و <math>(u.v)'=u'.v+u.v'</math> و <math>(u^n)'=nu'.u^{n-1}</math> حيث <math>n \in \mathbb{N}^*</math>
* إذا كانت <math>v(x) \neq 0</math> لكل <math>x</math> من  <math>I</math> فإن : <math>\left(\frac{1}{v}\right)'=- \frac{v'}{v^2}</math> و <math>\left(\frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}</math>
}}
== الاشتقاق والاتصال ==
{{خاصية|محتوى=
لتكن <math>f</math> دالة و <math>a</math> عنصرا من مجموعة تعريفها. إذا كانت <math>f</math> قابلة للاشتقاق في <math>a</math> فإن <math>f</math> متصلة في <math>a</math>
}}
'''ملاحظتان :'''
* نتيجة لهذه الخاصية، كل دالة قابلة للاشتقاق على مجال هي دالة متصلة على هذا المجال.
* عكس هذه الخاصية غير صحيح، فدالة القيمة المطلقة المعرفة على <math>\mathbb{R}</math> بما يلي : <math>x \to |x|</math> متصلة في صفر، لكنها غير قابلة للاشتقاق في هذا العدد.

== مشتقة مركب دالتين ==
{{خاصية|محتوى=
لتكن <math>f</math> دالة معرفة على مجال مفتوح <math>I</math> و <math>g</math> دالة معرفة على مجال مفتوح <math>J</math> بحيث <math>f(I) \subset J</math> وليكن <math>a</math> عنصرا من المجال <math>I</math>

إذا كانت <math>f</math> قابلة للاشتقاق في <math>a</math> و <math>g</math> قابلة للاشتقاق في <math>f(a)</math>، فإن الدالة <math>g\circ f</math> قابلة للاشتقاق في <math>a</math> 
}}

{{لازمة|محتوى=

إذا كانت <math>f</math> دالة قابلة للاشتقاق على مجال <math>I</math> و <math>g</math> دالة قابلة للاشتقاق على مجال <math>J</math> بحيث <math>f(I) \subset J</math>

فإن الدالة <math>g\circ f</math>  قابلة للاشتقاق على المجال <math>I</math> ، ولدينا لكن <math>x</math> من <math>I</math> : <math>(g\circ f)'(x)=f'(x).g'(f(x))</math>
}}

== مشتقة الدالة العكسية ==

{{خاصية|محتوى=
لتكن <math>f</math> تقابلا من مجال <math>I</math> نحو مجال <math>J</math> و <math>f^{-1}</math> تقابلها العكسي. وليكن <math>a</math> عنصرا من <math>I</math> و <math>b</math> عنصرا من <math>J</math> بحيث <math>f(a)=b</math>

إذا كانت <math>f</math> قابلة للاشتقاق في <math>a</math> و <math>f'(a)\neq 0</math>

فإن <math>f^{-1}</math> قابلة للاشتقاق في <math>b</math> ولدينا : <math>(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}</math>
}}
{{لازمة|محتوى=
لتكن <math>f</math> تقابلا من مجال <math>I</math> نحو مجال <math>J</math> و <math>f^{-1}</math> تقابلها العكسي.

إذا كانت <math>f</math> قابلة للاشتقاق على المجال <math>I</math> و <math>f'</math> لا تنعدم على المجال <math>I</math>

فإن <math>f^{-1}</math> قابلة للاشتقاق على المجال <math>J</math> ولدينا لكل <math>x</math> من <math>J</math> : <math>(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>
}}

== مشتقة دالة قوس الظل ==
{{خاصية|محتوى=
* الدالة <math>\arctan</math> قابلة للاشتقاق على <math>\mathbb{R}</math> ولدينا لكل <math>x</math> من <math>\mathbb{R}</math> : <math>\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}</math>
* إذا كانت <math>u</math> دالة قابلة للاشتقاق على مجال <math>I</math> فإن الدالة <math>x \mapsto \arctan(u(x))</math> قابلة للاشتقاق على <math>I</math> و دالتها المشتقة هي الدالة : <math>x \mapsto \frac{u'(x)}{1+(u(x))^2}</math>
}}

== مشتقة دالة الجذر من الرتبة n ==

=== مشتقة الدالة <math>x \mapsto \sqrt[n]{x}</math> ===
{{خاصية|محتوى=
ليكن <math>n</math> عددا صحيحا طبيعيا أكبر من <math>1</math>

الدالة <math>f:x \mapsto \sqrt[n]{x}</math> قابلة للاشتقاق على <math>\mathbb{R}^{+*}</math> ولدينا لكل <math>x</math> من <math>\mathbb{R}^{+*}</math> : <math>f'(x)=\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1} = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}</math>
}}

=== مشتقة الدالة <math>x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}</math> ===
{{خاصية|محتوى=
ليكن <math>n</math> عددا صحيحا طبيعيا أكبر من <math>1</math>

إذا كانت الدالة <math>u</math> قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال <math>I</math>، فإن الدالة <math>f:x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}</math> قابلة للاشتقاق على المجال <math>I</math> ولدينا لكل <math>x</math> من <math>I</math> : <math>f'(x)=\frac{1}{n} u'(x). (u(x))^{\frac{1}{n}-1} = \frac{u'(x)}{n \sqrt[n]{(u(x))^{n-1}}}</math>
}}
=== مشتقات الدوال <math>x \mapsto x^r</math> و <math>x \mapsto (u(x))^r</math> حيث <math>r \in \mathbb{Q}^*</math> ===
{{خاصية|محتوى=
ليكن <math>r</math> عددا جذريا غير منعدم.

* الدالة <math>x \mapsto x^r</math> قابلة للاشتقاق على <math>\mathbb{R}^{+*}</math> ومشتقتها هي الدالة <math>x \mapsto r x^{r-1}</math>
* إذا كانت دالة <math>u</math> قابلة للاشتقاق وموجبة قطعا على مجال <math>I</math>، فإن الدالة <math>f:x \mapsto (u(x))^r</math> قابلة للاشتقاق على المجال <math>I</math> ولدينا لكل <math>x</math> من <math>I</math> : <math>f'(x)=r.u'(x).(u(x))^{r-1}</math>
}}

== مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية ==

=== مبرهنة رول ===
{{مبرهنة|محتوى=
إذا كانت دالة <math>f</math> متصلة على قطعة <math>[a,b]</math> وقالبة للاشتقاق على المجال المفتوح <math>]a,b[</math> و <math>f(a)=f(b)</math>

فإنه يوجد على الأقل عنصر <math>c</math> من <math>]a,b[</math> بحيث <math>f'(c)=0</math>
}}
هندسيا، وجود عنصر <math>c</math> من <math>]a,b[</math> بحيث <math>f'(c)=0</math> يعني أن منحنى الدالة <math>f</math> على <math>[a,b]</math> له على الأقل مماس مواز لمحور الأفاصيل.

=== مبرهنة التزايدات المنتهية ===
{{مبرهنة|محتوى=
إذا كانت دالة <math>f</math> متصلة على قطعة <math>[a,b]</math> وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح <math>]a,b[</math>

فإنه يوجد <math>c</math> من <math>]a,b[</math> بحيث : <math>f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)</math>
}}
هندسيا، وجود عنصر <math>c</math> من <math>]a,b[</math> بحيث <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> يعني أن لمنحنى الدالة <math>f</math> على الأقل مماسا موازيا للمستقيم المار من النقطتين <math>A(a,f(a))</math> و <math>B(b,f(b))</math>

=== متفاوتة التزايدات المنتهية ===
{{خاصية|محتوى=
إذا كانت دالة <math>f</math> متصلة على قطعة <math>[a,b]</math> وقابلة للاشتقاق على المجال المفتوح <math>]a,b[</math> ، وإذا وُجِدَ عددان حقيقيان <math>\alpha</math> و <math>\beta</math> بحيث <math>\alpha \leq f'(x) \leq \beta</math> لكل <math>x</math> من <math>]a,b[</math>

فإن : <math>\alpha (a-b) \leq f(b)-f(a) \leq \beta (b-a)</math>
}}

{{لازمة|محتوى=
إذا كانت دالة <math>f</math> متصلة على <math>[a,b]</math> وقابلة للاشتقاق على <math>]a,b[</math> ، وإذا وُجِدَ عدد حقيقي موجب <math>k</math> بحيث : <math>(\forall t \in ]a,b[) \quad |f'(t)| \leq k</math>

فإنه لكل <math>x</math> و <math>y</math> من <math>]a,b[</math> : <math>|f(x)-f(y)| \leq k|x-y|</math>
}}

== رتابة دالة عددية ==
{{خاصية|محتوى=
لتكن <math>f</math> دالة قابلة للاشتقاق على مجال <math>I</math>

* تكون <math>f</math> ثابتة على <math>I</math> إذا وفقط إذا كان : <math>(\forall x \in I) \quad f'(x)=0</math>
* تكون <math>f</math> تزايدية على <math>I</math> إذا وفقط إذا كان : <math>(\forall x \in I) \quad f'(x) \geq 0</math>
* تكون <math>f</math> تناقصية على <math>I</math> إذا وفقط إذا كان : <math>(\forall x \in I) \quad f'(x) \leq 0</math>
}}

'''ملاحظة''' : إذا كانت <math>(\forall x \in I) \quad f'(x) \geq 0</math> والمتساوية <math>f'(x)=0</math> محققة فقط بالنسبة لأعداد معزولة من المجال <math>I</math> فإن الدالة <math>f</math> تزايدية قطعا على <math>I</math>

== انظر أيضا ==

* [[تحليل رياضي/الاتصال|الاتصال]]
* [[تحليل رياضي/الدوال العددية|دراسة الدوال العددية]]
* [[تحليل رياضي/الدوال الأصلية|الدوال الأصلية]]
* [[تحليل رياضي/التكامل|التكامل]]
* [[تحليل رياضي/المعادلات التفاضلية|المعادلات التفاضلية]]
* [[تحليل رياضي/نهاية متتالية|نهاية متتالية]]

[[تصنيف:تحليل رياضي]]
[[تصنيف:كلية علوم الرياضيات]]
[[تصنيف:رياضيات]]