تحليل رياضي/الاشتقاق

القابلية للاشتقاق

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

مشتقات بعض الدوال الاعتيادية

الدالة $f$	قابلة للاشتقاق على	الدالة المشتقة $f^{\prime }$
$x\mapsto k,(k\in ℝ)$	$ℝ$	$x\mapsto 0$
$x\mapsto ax,(a\in {ℝ}^{*})$	$ℝ$	$x\mapsto a$
$x\mapsto x^n,(n\in {\mathbb{N}}^{*})$	$ℝ$	$x\mapsto n{x}^{n-1}$
$x\mapsto \frac{1}{x}$	${ℝ}^{-*}$ أو ${ℝ}^{+*}$	$x\mapsto \frac{-1}{x^2}$
$x\mapsto \sqrt{x}$	${ℝ}^{+*}$	$x\mapsto \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$x\mapsto \cos (x)$	$ℝ$	$x\mapsto -\sin (x)$
$x\mapsto \sin (x)$	$ℝ$	$x\mapsto \cos (x)$
$x\mapsto \tan (x)$	$]-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi [,k\in \mathbb{Z}$	$x\mapsto 1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$x\mapsto \cos (ax+b),(a\in {ℝ}^{*})$	$ℝ$	$x\mapsto -a\sin (ax+b)$
$x\mapsto \sin (ax+b),(a\in {ℝ}^{*})$	$ℝ$	$x\mapsto a\cos (ax+b)$

الكتابة التفاضلية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح، وإذا وضعنا $y=f(x)$ ، فإنه يمكن استعمال الكتابة التفاضلية: $f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}$ أو $dy=f^{\prime }(x)dx$

في مادة الفيزياء، إذا كانت $x$ دالة للمتغير $t$ بحيث $x=\frac{1}{2}{t}^2+3t+1$ فإننا نكتب : $\frac{dx}{dt}=t+3$

الاشتقاق والاتصال

قالب:خاصية ملاحظتان :

• نتيجة لهذه الخاصية، كل دالة قابلة للاشتقاق على مجال هي دالة متصلة على هذا المجال.
• عكس هذه الخاصية غير صحيح، فدالة القيمة المطلقة المعرفة على $ℝ$ بما يلي : $x\to |x|$ متصلة في صفر، لكنها غير قابلة للاشتقاق في هذا العدد.

مبرهنة رول - مبرهنة التزايدات المنتهية

مبرهنة رول

قالب:مبرهنة هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=0$ يعني أن منحنى الدالة $f$ على $[a,b]$ له على الأقل مماس مواز لمحور الأفاصيل.

مبرهنة التزايدات المنتهية

قالب:مبرهنة هندسيا، وجود عنصر $c$ من $]a,b[$ بحيث $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ يعني أن لمنحنى الدالة $f$ على الأقل مماسا موازيا للمستقيم المار من النقطتين $A(a,f(a))$ و $B(b,f(b))$

رتابة دالة عددية

ملاحظة : إذا كانت $(\mathrm{\forall }x\in I)f^{\prime }(x)\ge 0$ والمتساوية $f^{\prime }(x)=0$ محققة فقط بالنسبة لأعداد معزولة من المجال $I$ فإن الدالة $f$ تزايدية قطعا على $I$

انظر أيضا

• الاتصال
• دراسة الدوال العددية
• الدوال الأصلية
• التكامل
• المعادلات التفاضلية
• نهاية متتالية