تحليل رياضي/المعادلات التفاضلية

عموميات

• ليكن $a$ عددا حقيقيا غير منعدم.

نريد أن نحدد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق على $ℝ$ والتي تحقق لكل $x$ من $ℝ$ : $f^{\prime }(x)=af(x)$ ✪

وإذا رمزنا للمجهول $f(x)$ بالرمز $y$ وللمشتقة $f^{\prime }(x)$ بالرمز $y^{\prime }$ فإن العلاقة ✪ تُكتب : $y^{\prime }=ay$

المتساوية $y^{\prime }=ay$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى.

كل دالة تحقق العلاقة ✪ تسمى حلا لهذه المعادلة التفاضلية. وحل المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$ يعني تحديد جميع هذه الحلول.

• ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين.

المتساوية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ تسمى معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية و المعادلة $r^2+ar+b=0$ تسمى معادلتها المميزة.

حل المعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ يعني تحديد جميع الدوال $f$ القابلة للاشتقاق مرتين على $ℝ$ والتي تحقق لكل $x$ من $ℝ$ : $f^{″}(x)+a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$

المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$

ملاحظة : لكل $x_0$ و $y_0$ من $ℝ$ ، يوجد حل وحيد $f$ للمعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay$ والذي يحقق $f(x_0)=y_0$

المعادلة التفاضلية $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$

ملاحظة : في الحالة الثالثة يمكن كتابة الحلول على الشكل $x\mapsto A{e}^{px}\cos (qx+B)$ حيث $A$ و $B$ عددان حقيقيان ثابتان.

انظر أيضا

• الاشتقاق
• الدوال الأصلية
• الدوال اللوغاريتمية
• الدوال الأسية
• التكامل