تحليل رياضي/التكامل

تكامل دالة متصلة على قطعة

ملاحظة :

في الكتابة $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ يُكمن تعويض الحرف $x$ بأي حرف آخر.

وبناء عليه، فإن التكاملات $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ و $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt$ و $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(u)du$ و $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(y)dy$ كلها متساوية.

تقنيات لحساب تكامل

لحساب تكامل، نستعمل جدول الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية والخاصيات السابقة. إلا أنه في بعض الحالات ينبغي اللجوء إلى بعض التقنيات التي تمكن من تبسيط حساب هذا التكامل.

ومن بين هذه التقنيات سنتطرق إلى تقنية المكاملة بالأجزاء وتقنية تغيير المتغير.

المكاملة بتغيير المتغير

قالب:خاصية عمليا :

على "الطريقة الفيزيائية"، إذا وضعنا $t=g(x)$ فإن : $\frac{dt}{dx}=g^{\prime }(x)$ ، وبالتالي فإن : $dt=g^{\prime }(x)dx$

ومنه فإن التعبير $f(g(x)).g^{\prime }(x)dx$ سيصبح $f(t)dt$

ولدينا أيضا : $\{\begin{array}{c}x=a\Rightarrow t=g(a)\\ x=b\Rightarrow t=g(b)\end{array}$

نقول إننا أجرينا "تغييرا للمتغير بوضع $t=g(x)$"

التكامل والترتيب

القيمة المتوسطة لدالة متصلة على قطعة

ملاحظتان :

• إذا كان $f([a,b])=[m,M]$ وكانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ على $[a,b]$ فإن الصيغة $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)f(c)$ تكافئ $F(b)-F(a)=(b-a)F^{\prime }(c)$ وهي صيغة مبرهنة التزايدات المنتهية مطبقة على الدالة $F$
• في حالة $f$ موجبة على $[a,b]$ ، الصيغة $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)f(c)$ تعني أن مساحة الحيز $\mathrm{\Delta }=\{M(x,y);a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$ هي مساحة المستطيل الذي بُعداه : $b-a$ و $\mu =f(c)$

دالة مُعَرَّفة بتكامل

قالب:خاصية ملاحظة : الدالة $g:x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ هي الدالة الأصلية للدالة $f$ على $I$ التي تنعدم في $a$

انظر أيضا

• الاتصال
• الاشتقاق
• الدوال الأصلية
• دراسة الدوال العددية
• المعادلات التفاضلية
• نهاية متتالية