تحليل رياضي/نهاية متتالية

عموميات حول المتتاليات

ليكن $k$ عنصرا من $\mathbb{N}$ ، نضع : $I=\{n\in \mathbb{N}/n\ge k\}$ ، ولتكن $(u_n{)}_{n\in I}$ متتالية عددية.

متتالية نهايتها منتهية

قالب:تعريف تكون متتالية متباعدة إذا كانت نهايتها $+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$ أو إذا كانت لا تقبل نهاية (طبعا عندما يؤول $n$ إلى $+\mathrm{\infty }$)

وحدانية النهاية

قالب:خاصية قالب:خاصية ملاحظة : عكس هذه الخاصية غير صحيح، فالمتتالية $(u_n{)}_n$ المعرفة بما يلي : $u_n=(-1{)}^n$ محدودة لكنها غير متقاربة.

العمليات على نهايات المتتاليات

بصفة عامة، العمليات على النهايات التي سبقت دراستها بالنسبة للدوال، تبقى صالحة بالنسبة لنهايات المتتاليات.

نعتبر $\ell$ و ${\ell }^{\prime }$ عددان حقيقيان.

نهاية مجموع متتاليتين

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell$	$\ell$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
$\lim v_n$	${\ell }^{\prime }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$
$\lim (u_n+v_n)$	$\ell +{\ell }^{\prime }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	شكل غير محدد

نهاية جداء متتاليتين

$\lim u_n$	$\ell$	$+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$
$\lim v_n$	${\ell }^{\prime }$	${\ell }^{\prime }>0$	${\ell }^{\prime }<0$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$0$
$\lim (u_n{v}_n)$	$\ell {\ell }^{\prime }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	شكل غير محدد

نهاية خارج متتاليتين

$\lim u_n$	$\ell$	$\ell >0$	$\ell <0$	$\ell >0$	$\ell <0$	$0$	$0$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$
$\lim v_n$	${\ell }^{\prime }\ne 0$	$0$ و $v_n>0$ ✪		$0$ و $v_n<0$ ✪		$+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$	$0$	${\ell }^{\prime }>0$		${\ell }^{\prime }<0$		$+\mathrm{\infty }$ أو $-\mathrm{\infty }$
$\lim \frac{u_n}{v_n}$	$\frac{\ell }{{\ell }^{\prime }}$	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	$0$	شكل غير محدد	$+\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$	شكل غير محدد

✪ : انطلاقا من رتبة معينة

مصاديق التقارب

الرتابة والتقارب

قالب:خاصية ملاحظة : هذه الخاصية تبين فقط أن المتتالية متقاربة دون تحديد نهايتها. قالب:خاصية

نهاية المتتالية $(n^r{)}_n$ حيث $r\in {\mathbb{Q}}^{*}$

قالب:خاصية أمثلة :

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{-1/2}=0,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{1/2}=+\mathrm{\infty }$

متتاليتان متحاديتان

قالب:تعريف مثال :

لتكن $(u_n{)}_{n>0}$ و $(v_n{)}_{n>0}$ المتتاليتين المعرفتين بما يلي : $u_n=1-\frac{1}{n}$ و $v_n=1+\frac{1}{n}$

لدينا $(u_n{)}_{n>0}$ تزايدية و $(v_n{)}_{n>0}$ تناقصية و $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(u_n-v_n)=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{2}{n})=0$

إذن المتتاليتان $(u_n{)}_{n>0}$ و $(v_n{)}_{n>0}$ متحاديتان. قالب:خاصية

انظر أيضا

• الاشتقاق
• التكامل
• دراسة الدوال العددية