تحليل رياضي/الدوال اللوغاريتمية

دالة اللوغاريتم النيبيري

الدالة $x\mapsto \frac{1}{x}$ تقبل دوالا أصلية على $]0,+\mathrm{\infty }[$ لأنها متصلة على هذا المجال. قالب:تعريف قالب:لازمة قالب:خاصية قالب:خاصية ملاحظات :

• إذا كانت $a_1$ و $a_2$ و ... و $a_n$ أعداد حقيقية موجبة قطعا فإن : $\ln \left(\prod _{i=1}^n{a}_i\right)=\sum _{i=1}^n\ln (a_i)$
• لكل عددين حقيقيين سالبين قطعا $x$ و $y$ لدينا : $\ln (xy)=\ln (-x)+\ln (-y)$ و $\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (-x)-\ln (-y)$ و $\ln (x^2)=2\ln x$

العدد $e$

الدالة $\ln$ تقابل من ${ℝ}^{+*}$ نحو $ℝ$ ، إذن المعادلة $\ln (x)=1$ تقبل حلا وحيدا في ${ℝ}^{+*}$ . يُرمز لهذا الحل بالحرف $e$

لدينا إذن : $\ln (e)=1$ و $\ln (x)=1⟺x=e$

نقبل أن العدد $e$ ليس جذريا ($e\notin \mathbb{Q}$) وقيمة مقربة له هي 2.71828

ملاحظة : لكل $r$ من $\mathbb{Q}$ لدينا : $\ln (e^r)=r$

التمثيل المبياني للدالة $\ln$

لدينا $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)=-\mathrm{\infty }$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل محور الأراتيب كمُقارب رأسي.

ولدينا $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln (x)=+\mathrm{\infty }$ و $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln (x)}{x}=0$ ، إذن منحنى الدالة $\ln$ يقبل اتجاه محور الأفاصيل كاتجاه مقارب.

منحنى الدالة $\ln$ يمر بالخصوص من النقطتين $A(1,0)$ و $B(e,1)$

المشتقة اللوغاريتمية

قالب:خاصية الدالة $\frac{u^{\prime }}{u}$ تسمى المشتقة اللوغاريتمية للدالة $u$ على المجال $I$ قالب:لازمة

دالة اللوغاريتم للأساس $a$

مثال : لكل $x$ من ${ℝ}^{+*}$ لدينا : ${\log }_7(x)=\frac{\ln x}{\ln 7}$

ملاحظات :

• دالة اللوغاريتم النيبيري هي دالة اللوغاريتم للأساس $e$ لأن : ${\log }_{e}x=\frac{\ln x}{\ln e}=\frac{\ln x}{1}=\ln x$ لكل $x$ من ${ℝ}^{+*}$
• ${\log }_{a}a=1$ و ${\log }_{a}1=0$
• لكل $x$ من ${ℝ}^{+*}$ لدينا : ${{\log }_a}^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}$
• إذا كان $a>1$ فإن الدالة ${\log }_a$ تزايدية قطعا على ${ℝ}^{+*}$ ، وإذا كان $0<a<1$ فإن الدالة ${\log }_a$ تناقصية قطعا على ${ℝ}^{+*}$

اللوغاريتم العشري

ملاحظات :

• لكل $x$ من ${ℝ}^{+*}$ : $\log (x)=\frac{\ln x}{\ln 10}$
• $\log 1=0$ و $\log 10=1$
• لكل $x$ من ${ℝ}^{+*}$ ولكل $r$ من $\mathbb{Q}$ : $\log (x)=r⟺x=10^r$

في الكيمياء، يُعَرَّف $\mathrm{p}\mathrm{H}$ محلول بالعلاقة $\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log [{\mathrm{H}}^{+}]$ حيث $[{\mathrm{H}}^{+}]$ يمثل تركيز أيونات الهيدروجين في المحلول.

انظر أيضا

• الدوال الأسية
• الاتصال
• الاشتقاق
• التكامل